Всероссийская олимпиада школьников по математике - задания школьного этапа 4-11 класс

Варианты заданий прошлых лет для подготовки к проведению всероссийской олимпиады школьников по математике  в 4-11 классах с ответами и критериями оценивания.

Школьный этап ВсОШ по математике 4-11 класс

Школьный этап ВсОШ по математике 10 - 11 класс

Школьный этап ВсОШ по математике 4-11 класс:

Муниципальный этап

Примеры заданий:

Задача 11.1. Маша живёт в квартире№290, которая находится в 4-м подъезде 17-этажного  дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах дома на всех 17 этажах; номера квартир начинаются с 1.)

Ответ: 7.

Задача 11.2. На столе лежат 30 монет: 23 десятирублёвых и 7 пятирублёвых, причём 20 из этих монет лежат вверх орлом, а остальные 10 — решкой. При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 монет обязательно найдётся десятирублёвая монета, лежащая орлом вверх?

Ответ: 18.

Задача 11.5. При каком наименьшем натуральном 𝑛 можно расставить числа от 1 до 𝑛 по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех 40 следующих за ним по часовой стрелке, либо меньше всех 30 следующих за ним по часовой стрелке? 

Задача 11.7. Центры шести сфер радиуса 1 расположены в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы 𝑆 с центром в центре шестиугольника. Сфера 𝑃 касается шести сфер внешним образом и сферы 𝑆 внутренним образом. Чему равен радиус сферы 𝑃?

Ответ: 1,5. 

Задача 11.8. В каждой клетке полоски 1 × 𝑁 стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные. Число 𝑁 назовём позитивным, если из расстановки из 𝑁 минусов Ваня такими операциями может получить расстановку из 𝑁 плюсов. Рассмотрим числа 3, 4, 5, … , 1400. Сколько среди них позитивных?

Ответ: 1396.