Все задачи из банка ФИПИ для ЕГЭ по математике профильного уровня с ответами
Примеры заданий:
Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй – 104, а в третьей коробке камней нет.
За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
a) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 89, а в третьей – 15 ?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
***
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала 𝑚 фотографий, а Наташа – 𝑛 фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
a) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
***
На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечены точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁 : 𝑁𝐵 = 1 : 2. Точки 𝑃 и 𝑄 – середины рёбер 𝐷𝐴 и 𝐷𝐶 соответственно.
a) Докажите, что точки 𝑃, 𝑄,𝑀 и 𝑁 лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость 𝑃𝑄𝑀 разбивает пирамиду.
Источник: vk.com/profimatika
Смотрите также: